Analysis, manifolds and physics by Choquet-Bruhat Y., Dewitt-Morette C., M.Dillard-Bleick

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3 35 Weitere Typen von Differentialgleichungen E. Satz (Riccati-Gleichung versus lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung). x/ dx besitzt –, so löst u die Gleichung (4). Ist umgekehrt u eine nullstellenfreie Lösung der Gleichung (4), so löst y, bestimmt aus (3), die Gleichung (2). Es existiert eine Vielzahl von speziellen Differentialgleichungen, die mit besonderen Methoden gelöst werden können. Die Hauptstoßrichtung liegt dabei auf der Gewinnung expliziter Lösungsausdrücke. Große Teile der klassischen Analysis sind diesem Ziel gewidmet.

Man nennt g die Inhomogenität oder auch das Störglied. Wie bei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung gibt es auch hier das Verfahren der Variation der Konstanten. Dieses startet mit einem Hauptsystem F1 , F2 der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (H) y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0: F1 , F2 können so konstruiert worden sein wie in den Sätzen D, E, F. Es ist jedoch auch eine andere Basiswahl möglich. Motiviert durch die Darstellung beliebiger Lösungen von (H) (14) y D c1 F1 C c2 F2 mit Konstanten c1 ; c2 22 Kapitel 1 Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen macht man einen Ansatz zur Lösung von (I-H) in der Gestalt (15) Y D C1 F1 C C2 F2 mit Funktionen C1 ; C2 : Da jetzt zwei Koeffizientenfunktionen zur Verfügung stehen, ist die Freiheit in deren Wahl zu groß.

Vgl. 2]. Beweis des Fixpunktsatzes D. y /. x ; y / > 0 weiter: 1 Ä , Widerspruch! xk / ist CauchyFolge in X, dann im Schritt 3), dass der Limes existiert und Fixpunkt ist. x1 ; x0 /; k D 0; 1; 2; : : : : Induktionsanfang: k D 0 ist in Ordnung. x1 ; x0 / C D. x1 ; x0 /: j D0 Dabei wurde beim Übergang zur zweiten Zeile verwendet, dass in (3) x0 und x1 genauso gut durch irgendwelche aufeinanderfolgende Elemente der Folge ersetzt werden können (mit P entsprechender Weiterzählung auf der linken Seite).

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