Analyse 3 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui consider connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce web site divers records pertinents au cours.

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La fonction f : Rn \ 0 → Rn donn´ee par f (x) = x x est continue. Elle ne peut pas ˆetre prolong´ee `a une fonction continue sur Rn tout entier puisque (n) (n) f (λ e1 ) = sgn λ e1 52 ce qui n’admet pas de limite lorsque λ → 0. Exemple. La fonction f : ]0, +∞[ × ] − π, π] × [0, π] → R3 donn´ee par f (r, θ1 , θ2 ) = (r cos θ1 sin θ2 , r sin θ1 sin θ2 , r cos θ2 ) est continue. Th´ eor` eme 18 Soient E ⊆ Rn un ensemble compact et f : E → Rm une fonction continue sur E. Alors l’ensemble f (E) est compact.

Les d´eriv´ees partielles sont ainsi partout d´efinies et continues partout sauf `a l’origine : ∂f ∂f λ(λ2 − 1) (x1 , λx1 ) = − (x1 , λx1 ) = si x1 = 0. 2 Fonctions continˆ ument d´ erivables Soient E ⊆ Rn un ensemble ouvert et f : E → R une fonction num´erique d´efinie sur E et admettant des d´eriv´ees partielles dans E. Si ces d´eriv´ees partielles admettent elles-mˆeme des d´eriv´ees partielles dans E, ces derni`eres, les d´ eriv´ ees partielles d’ordre 2 de la fonction f , sont d´enot´ees au point x par D(i,j) f (x) = D(i) (D(j) f )(x) ou par ∂2f ∂ (x) = ∂xi ∂xj ∂xi 34 ∂f ∂xj (x) et ∂ ∂2f (x) = 2 ∂xj ∂xj ∂f ∂xj (x).

Toutes ces fonctions sont donc d´erivables (sur leur domaine de d´efinition). Th´ eor` eme 11 Soit f ∈ C (2) (E). Alors ∂2f ∂2f = . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi D´emonstration. Pour simplifier l’´ecriture, nous n’´ecrivons le raisonnement que pour le cas n = 2 et nous posons x = x1 , y = x2 . Le cas g´en´eral est similaire. Soit (x, y) ∈ E un point quelconque. Pour u > 0, posons E(u) = f (x + u, y + u) − f (x + u, y) − f (x, y + u) + f (x, y) . u2 En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis `a deux reprises, on voit qu’il existe x1 ∈]x, x + u[ et y1 ∈]y, y + u[ tels que (f (x + u, y + u) − f (x + u, y)) − (f (x, y + u) − f (x, y)) u 1 ∂ = (f (x1 , y + u) − f (x1 , y)) u ∂x ∂ ∂2 1 ∂ = f (x1 , y + u) − f (x1 , y) = f (x1 , y1 ).

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